２０２５年の東京大学理系数学第一問の問題の考え方と発展について解説します
第一問の解答・解説
\(座標平面上の点 A(0,0), B(0,1), C(1,1), \\D(1,0) を考える。\)
実数 \( 0 < t < 1\) に対して, 線分 \(AB, BC, CD \) を \(t : (1 – t)\) に内分する点をそれぞれ \( P_t, Q_t, R_t\) とし, 線分 \(P_t Q_t, Q_t R_t\) を \( t : (1 – t) \)に内分する点をそれぞれ \(S_t, T_t \)とする。さらに線分 \( S_t T_t \) を \( t : (1 – t)\) に内分する点を \(U_t \) とする。また, 点\(A\) を\(U_0\), 点\(D\) を\(U_1\)とする。
\(
\text{(1) 点 } U_t \text{ の座標を求めよ。}
\)
(2) \(t\) が \( 0 \leq t \leq 1 \) の範囲を動くときに点 \( U_t\) が描く曲線と, 線分 \( AD \) で囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) 実数 \(a\) を \( 0 < a < 1\) を満たすものとする。\( t\) が \( 0 \leq t \leq a\) の範囲を動くときに点 \(U_t \) が描く曲線の長さを, \( a\) の多項式の形で求めよ。
考え方
(1)内分点の求め方を思い出しましょう。ベクトルで記述していけば途中過程で座標表示の必要が無いため簡潔です。
(2)\( U_t\) の座標(\(x,y\))は\(t\)で媒介変数表示されています。今回は面積を求めるだけなので概形まで考える必要はありませんが、仮に概形を求める場合\(x,y\)の間に明示的な関係が見つからなければ\(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\)から増減を調べましょう。
(3)媒介変数表示における曲線の長さの公式を思い出しましょう。
解答
(1)\begin{align*}
\overrightarrow{OU_t}&=(1-t)\overrightarrow{OS_t}+t\overrightarrow{OT_t}\\
&=(1-t)\{(1-t)\overrightarrow{OP_t}+t\overrightarrow{OQ_t}\}\\
&\quad+t\{(1-t)\overrightarrow{OQ_t}+t\overrightarrow{OR_t}\}\\
&=(1-t)^2\overrightarrow{OP_t}+2t(1-t)\overrightarrow{OQ_t}+t^2\overrightarrow{OR_t}\\
&=(1-t)^2\{(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\}\\
&\quad+2t(1-t)\{(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}\}\\&\quad +t^2\{(1-t)\overrightarrow{OC}+t\overrightarrow{OD}\}\\
&=(1-t)^3\overrightarrow{OA}+3t(1-t)^2\overrightarrow{OB}\\
&\quad+3t^2(1-t)\overrightarrow{OC}+t^3\overrightarrow{OD}\\
&=\begin{pmatrix}0\\3t(1-t)^2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3t^2(1-t)\\3t^2(1-t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t^3\\0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}t^2(3-2t)\\3t(1-t)\end{pmatrix}
\end{align*}
より,\(U_t=(t^2(3-2t),3t(1-t))\)である。
(2)(1)より\(U_t\)の\(x\)座標と\(y\)座標は共に非負であり, \(y\)座標が\(0\)になるのは\(t=0,1\)のときである。ゆえに求める面積は
\begin{align*}
\int_0^1ydx&=\int_0^13t(1-t)\times6t(1-t)dt\\
&=\int_0^118t^2(1-t)^2dt\\
&=18\int_0^1(t^4-2t^3+t^2)dt\\
&=18[\frac{1}{5}t^5-\frac{1}{2}t^4+\frac{1}{3}t^3]_0^1\\
&=18(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\\
&=18(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\\
&=\frac{3}{5}\\
\end{align*}
より,\(\frac{3}{5}\)
(3)求める長さは$$\int_0^a\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$$
これを\(f(a)\)とおくと,
\begin{align*}
f(a)&=\int_0^a\sqrt{(6t(1-t))^2+(3(1-2t))^2}dt\\
&=6\int_0^a\sqrt{\{(t-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\}^2+(t-\frac{1}{2})^2}dt\\
&=6\int_0^a\sqrt{(t-\frac{1}{2})^4+\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{16}}dt\\
&=6{\int_0^a\sqrt{\{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\}^2}dt}\\
&=6{\int_0^a\{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\}dt}\\
&=6[\frac{1}{3}(t-\frac{1}{2})^3+\frac{1}{4}t]_0^a\\
&=2(a-\frac{1}{2})^3+\frac{3}{2}a+\frac{1}{4}\\
&=a(2a^2-3a+3)
\end{align*}
よって求める長さは\(a(2a^2-3a+3)\)
所感
(1),(2)は計算すれば解ける標準問題ですが、(3)は根号の中身が二乗の形になると信じて式変形していく必要があるため、受験生にとっては苦しかっただろうと思います。
発展
本問の背景にベジェ曲線があります。
ベジェ曲線とは、\(N\)を自然数として、\(N+1\) 個の点\(P_0,P_1,…,P_N\)から定まる曲線
$$\small{\overrightarrow{OP(t)}=\sum_{k=0}^N{}_NC_kt^k(1-t)^{N-k}\overrightarrow{OP_k}(0 \leq t \leq 1)}$$のことを指します。本問では\(N=3,P_0=A,P_1=B,P_2=C,P_3=D\)としたときのベジェ曲線が登場しました。
ベジェ曲線について詳しくはこちら
