第二問の解答・解説
問題
(1) \(x> 0\)のとき, 不等式 \(\text{log}x\leq x-1\)を示せ。
(2)次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\]
考え方
(1)対数関数が絡む不等式の問題です。微分しましょう。
(2)積分の極限の問題です。このタイプの問題へのアプローチは大まかに三つです。
①そのまま積分を計算する
②周期関数の性質を利用する
③不等式評価をしてはさみうち
今回は③を使います。本問での不等式評価の方法を三つ挙げます。
・相加相乗平均を利用する
・微分から着想を得る
→同じ不等式
・部分積分法を使う
→より精度の高い不等式
解答
(1)\(f(x)=x-1-\text{log}x\)とおく。
このとき、\begin{align*}
f'(x)&=1-\frac{1}{x}\\
&=\frac{x-1}{x}
\end{align*}
より
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots
\\ \hline f’(x) & / & – & 0 & +
\\ \hline f(x) & / & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}
したがって\(f(x)\geq f(1)=0 (x>0)\)
(2)(上からの評価について)(1)において\(\displaystyle{x\rightarrow \frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}}\)とすれば
\begin{align*}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)&\leq \frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}-1\\
&=\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2}
\end{align*}
よって\begin{align*}
n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&\leq n\int_{1}^{2}\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2}dx\\
&=n\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}x^{\frac{1}{n}+1}-x\right)\right]_1^2\\
&=\frac{n}{2}\left\{\left(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}2^{\frac{1}{n}+1}-2\right)-\left(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-1\right)\right\}\\
&=\frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}&=\lim_{t\to +0}\frac{1}{2}\frac{\left\{\frac{1}{t+1}(2^{t+1}-1)-1\right\}}{t}\\
&\quad (t=\frac{1}{n}とおいた)\\
&=\lim_{t\to +0}\frac{1}{2}\frac{g(t)-g(0)}{t-0}\\
&\quad (g(t)=\frac{1}{t+1}(2^{t+1}-1)と定めた)\\
&=\frac{1}{2}g'(0)\\
&=\frac{1}{2}(2\text{log}2-1)\\&\quad (g'(t)=\frac{2^{t+1}\text{log2}(t+1)-(2^{t+1}-1)}{(t+1)^2}よりg'(0)=2\text{log}2-1)\\
&=\text{log}2-\frac{1}{2}\\
\end{align*}
である。
(下からの評価について)
以降考え方別で解答を作成していきます
相加相乗平均を利用する
\(x^\frac{1}{n}>0\)より相加相乗平均の関係から\[\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\geq \sqrt{x^{\frac{1}{n}}}\]
よって\begin{align*}n\,\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)&\geq n\,\text{log}\sqrt{x^{\frac{1}{n}}}\\
&=n\times \frac{1}{2n}\text{log}x\\
&=\frac{\text{log}x}{2}
\end{align*}
より
\begin{align*}
n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&\geq \int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[x\text{log}x-x\right]_1^2\\
&=\frac{1}{2}(2\text{log}2-1)\\
&=\text{log}2-\frac{1}{2}
\end{align*}
以上より\[\int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx\leq n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\leq \frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}\]
かつ
\[\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}=\lim_{n\to \infty}\int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx=\text{log}2-\frac{1}{2}\]だからはさみうちの原理より\[\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx=\text{log}2-\frac{1}{2}\]
よって求める値は\(\text{log}2-\frac{1}{2}\)
微分から着想を得る
極限と積分の交換を許容すれば、\[\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\overset{?}{=}\int_{1}^{2}\lim_{n\to \infty}n\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\]
が成り立つはず。
各\(x\)に対して\(g_x(t)=\text{log}\left(\frac{1+x^{t}}{2}\right)\)とおけば\begin{align*}
\lim_{n\to \infty}n\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)&=\lim_{t\to +0}\frac{1}{t}g_x(t)\\
&=\lim_{t\to +0}\frac{g_x(t)-g_x(0)}{t-0}\\
&=g_x'(0)\\
&=\frac{\text{log}x}{2}
\end{align*}
だから、\(n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\)と\(\int_1^2\frac{\text{log}x}{2}dx\)の間に不等式評価が出来れば解けそう
以下、解答を作成する
________________________________________
\(x^{\frac{1}{n}}=u\)とおくと\(x=u^n\)。
ここで\[h(u)=n\,\text{log}\left(\frac{1+u}{2}\right)-n\frac{\text{log}u}{2}\,(1\leq u)\]とおくと
\begin{align*}h'(u)&=n(\frac{1}{1+u}-\frac{1}{2u})\\
&=n\frac{u-1}{2u(u+1)}
\end{align*}より、\(h'(u)\geq 0\)から
\[h(u)\geq h(1)=0\]
よって\(1\leq x\leq 2\) のとき\(1\leq u\)だから\begin{align*}
h(x^{\frac{1}{n}})&\geq 0\\
n\,\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)-\frac{\text{log}x}{2}&\geq 0
\end{align*}
ゆえに\begin{align*}
n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&\geq \int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[x\text{log}x-x\right]_1^2\\
&=\frac{1}{2}(2\text{log}2-1)\\
&=\text{log}2-\frac{1}{2}
\end{align*}
以上より\[\int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx\leq n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx\leq \frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}\]
かつ
\[\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}=\lim_{n\to \infty}\int_{1}^{2}\frac{\text{log}x}{2}dx=\text{log}2-\frac{1}{2}\]だからはさみうちの原理より\[\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx=\text{log}2-\frac{1}{2}\]
よって求める値は\(\text{log}2-\frac{1}{2}\)
部分積分法を使う
\begin{align*}
n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&=n\left[x\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) \right]_1^2-n\int_{1}^{2}x\left\{\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\right\}’dx\\
&=2n\,\text{log}\left(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2}\right)-\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx
\end{align*}また、
\[\lim_{n\to \infty}2n\,\text{log}\left(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2}\right)=\text{log}2…(ii)\]であるから\[\lim_{n\to \infty}\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx\]を求めればよい
\[\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}\fallingdotseq\frac{1}{2}\]だから、\(\displaystyle{\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx}\)と\(\displaystyle{\int_1^2\frac{1}{2}dx}\)の差を評価すれば解けそう。
\begin{align*}0\leq \int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx-\int_1^2\frac{1}{2}dx&=\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2(1+x^{\frac{1}{n}})}dx\\
&\leq \int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{4}dx(\because 1\leq x\leq 2,1+x^{\frac{1}{n}}\geq 2)\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\frac{1}{n}+1}x^{\frac{1}{n}+1}-x\right]_1^2\\
&=\frac{1}{4}\left\{\left(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}2^{\frac{1}{n}+1}-2)-(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-1\right)\right\}
\end{align*}ここで、\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{4}dx&=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{4}\left\{\left(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}2^{\frac{1}{n}+1}-2)-(\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-1\right)\right\}\\&=\frac{1}{4}\{(2-2)-(1-1)\}\\
&=0\end{align*}
である。
以上より
\begin{align*} 2n\,\text{log}\left(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2}\right)-\int_1^2\frac{1}{2}dx-\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{4}dx\leq n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&\leq \frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}\\
\end{align*}かつ\[\lim_{n\to \infty}2n\,\text{log}\left(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2}\right)-\int_1^2\frac{1}{2}dx-\int_1^2\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{4}dx=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\left\{\frac{1}{\frac{1}{n}+1}(2^{\frac{1}{n}+1}-1)-1\right\}=\text{log}2-\frac{1}{2}\]
よってはさみうちの原理より\[\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx=\text{log}2-\frac{1}{2}\]
よって求める値は\(\text{log}2-\frac{1}{2}\)
部分積分での解法は(1)を使わずに記述すればより簡潔になりますね
発展
本問を一般化すると、次の定理が成り立ちます。
定理 ルベーグの優収束定理(の特殊な場合)
関数列\(\{f_n\}\)を\([a,b]\)上の連続関数とし、次の条件を満たしているとする。
(1)各\(x\in [a,b]\)に対して極限\(f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)\)が存在する。
(2)\([a,b]\)上の可積分関数\(g(x)\)であって\(|f_n(x)|\leq g(x)\)が全ての\(n\)で成り立つようなものが存在する。
ここで、\(g\,\)が可積分とは\[\int_a^b|g(x)|dx<\infty\]が成り立つことである。
このとき、次の等式が成り立つ。\[\lim_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^bf(x)dx\]
本問の場合\(f_n(x)=n\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\)とおけば
\begin{align*}
f(x)&=\lim_{n\to \infty}f_n(x)\\
&=\lim_{n\to \infty}n\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\\
&=\frac{\text{log}x}{2}
\end{align*}
なので、条件(1)を満たすことが分かります。
また、\(h_x(t)=\text{log}\left(\frac{1+x^t}{2}\right)\)とおくと\(h_x(t)\)は\([0,1]\)で連続かつ\((0,1)\)で微分可能であり、\[f_n(x)=\frac{h_x(\frac{1}{n})-h_x(0)}{\frac{1}{n}-0}\]なので平均値の定理より\begin{align*}f_n(x)&=h_x'(c)\\
&=\frac{x^c\text{log}x}{1+x^c}\,(0<c<1)\end{align*}を満たすような実数\(c\)が存在します。
よって\begin{align*}
|f_n(x)|&=\left|\frac{x^c\text{log}x}{1+x^c}\right|\\
&=\left|(1-\frac{1}{1+x^c})\text{log}x\right|\\
&<\text{log}x\\
\int_1^2\text{log}xdx&=\left[x\text{log}x-x\right]_1^2\\
&=2\text{log}2-1\\
&<\infty
\end{align*}
だから、\(g(x)=\text{log}x\)とおけば、条件(2)も満たすことが分かります。
ゆえに上の定理が使えて\begin{align*}
\lim_{n\to \infty}n\int_{1}^{2}\text{log}\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx&=\int_1^2\frac{\text{log}x}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[x\text{log}x-x\right]_1^2\\
&=\text{log}2-\frac{1}{2}\end{align*}となり、値が求められます。
