交換法則、結合法則、分配法則の説明
| 交換法則 | \(A+B=B+A,AB=BA\) |
| 結合法則 | \((A+B)+C=A+(B+C),\\ (AB)C=A(BC)\) |
| 分配法則 | \(A(B+C)=AB+AC\) |
発展
そもそも和、積とはなんだろうか。二つの演算に共通しているのは、ある二つの数が与えられたとき、そこから一つの数を作り出すことができる、ということである。例えば和を考えれば、\(2\)と\(3\)から\(2+3=5\)を作ることができるし、積を考えれば\(2\)と\(3\)から\(2\times 3=6\)を作ることができる。このように和、積の性質を一般化したものを大学で群論、環論、体論などとして学習していく。
注意
いずれの法則も当たり前に見えるかもしれないが実は一般の演算では成り立たない。
以下各法則の反例を挙げる。大学範囲も含まれるが、分かって欲しいのはこれらの法則が当たり前では無いということである。
・交換法則：除法、減法、写像の合成
・結合法則：除法、減法、括弧積
・分配法則：加法と乗法を入れ替えたもの(一般に\(A+(B\times C)\neq (A+B)\times(A+C)\))
指数法則とその周辺
| 用語 | 定義 | 例 |
| 累乗 | 同じ数を掛け合わせることをその数の累乗とよぶ | \(x\times x\times x\) |
| 指数 | 累乗において掛け合わせた回数 | \(x\times x\times x\)の指数は\(3\) |
| 指数法則 | \(m,n\)を正の整数として [1] \(x^mx^n=x^{m+n}\) [2] \((x^m)^n=x^{mn}\) [3] \((xy)^m=x^my^m\) | \((x^2)^3x^5=x^{2\times 3+5}\\=x^{11}\) |
発展
実は、\(x\)を正の数とすれば\(m,n\)を任意の実数としても指数法則は成り立つ。しかし、複素数(実数の概念をさらに拡張した数。数Ⅱ,Cで学習する。)の範囲では一般に\(x^y\)という形の式は一つの値に定まらず、指数法則も成り立たない。つまり、指数法則も当たり前ではないということである。
演習
(1)\((x^2y^3)^{2^2}(xy)^3\)を計算せよ。
(2)\((2+xy^2+x^2)(3x+y)\)を降べきの順に整理せよ。
解答
用いた法則を交(交換法則)、結(結合法則)、分(分配法則)、指[1],[2],[3](順に指数法則の[1],[2],[3])と略記する。
(1)\begin{align*}
(x^2y^3)^{2^2}(xy)^3&\underset{\phantom{指[3]}}{=}(x^2y^3)^4(xy)^3\\
&\overset{指[3]}{=}(x^2)^4(y^3)^4x^3y^3\\
&\overset{指[2]}{=}x^8y^{12}x^3y^3\\
&\overset{交}{\underset{\phantom{指[3]}}=}x^8x^3y^{12}y^3\\
&\overset{指[1]}{=}x^{11}y^{15}\\
\end{align*}
よって\(x^{11}y^{15}\)
(2)\begin{align*}
(2+xy^2+x^2)(3x+y)&\overset{分}{\underset{\phantom{指[3]}}=}2\times (3x+y)+xy^2\times (3x+y)+x^2\times (3x+y)\\
&\overset{分}{\underset{\phantom{指[3]}}=}2\times 3x+2\times y+xy^2\times 3x\\&\quad +xy^2\times y+x^2\times 3x+x^2\times y\\
&\overset{交}{\underset{\phantom{指[3]}}=}2\times 3x+2\times y+3x\times xy^2\\&\quad +xy^2\times y+x^2\times 3x+x^2\times y\\
&\overset{指[1]}{\underset{\phantom{指[3]}}=}6x+2y+3x^2y^2+xy^3+3x^3+x^2y\\
&\overset{交}{\underset{\phantom{指[3]}}=}3x^2y^2+xy^3+3x^3+x^2y+6x+2y
\end{align*}
よって\(3x^2y^2+xy^3+3x^3+x^2y+6x+2y\)
